Question

已知a∈R，求函数f（x）=

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x³-ax²的单调区间．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间

专题：函数的性质及应用

分析：求导数，解不等式导数大于零得原函数增区间，导数小于零得减区间．

解答： 解：∵f（x）=

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x³-ax²，
∴f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），为二次函数，图象开口向上，有两零点0和2a，
当a=0时，令f′（x）=x²≥0，则函数在R上单调递增，
当a＞0时，x＜0或x＞2a时，f′（x）＞0，函数单调递增，0＜x＜2a时，f′（x）＜0，函数单调递减，
此时函数的单调增区间为（-∞，0）和（2a，+∞），减区间为（0，2a），
当a＜0时，x＞0或x＜2a时f′（x）＞0，函数单调递增，2a＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，
此时函数的单调增区间为（-∞，2a）和（0，+∞），减区间为（2a，0）．

点评：对于可导函数的极值点理解必须从两个方面，一是导数为零，二是两侧导数异号；求单调区间就是解导数不等式，注意若同为增区间不止一个，要用逗号隔开．