Question

计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

Answer 1

【答案】分析：设画面高为xcm，宽为λxcm，则依题意可求得宣传画面积的表达式，设纸张面积为S，根据题意得S=（x+16）（λx+10）把前面求得x代入，整理后，根据均值不等式求得S的最小值，进而求得此时的宽和高．如果λ∈[]，根据求函数单调性的方法，设，求得S（λ₁）-S（λ₂）＜0，判断出函数在[]内单调递增，进而可知λ=时，S（λ）取得最小值．
解答：解：设画面高为xcm，宽为λxcm，
则λx²=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
将x=代入上式得
S=5000+44
当8时，
S取得最小值，
此时高：x=cm，
宽：λx=cm
如果λ∈[]，
可设，
则由S的表达式得
S（λ₁）-S（λ₂）
=44
=
由于
因此S（λ₁）-S（λ₂）＜0，
所以S（λ）在区间[]内单调递增．
从而，对于λ∈[]，
当λ=时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[]，当λ=时，
所用纸张面积最小．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在用均值不等式的时候要特别注意要验证一下等号是否能取到．