题目内容
计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[
，
]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
设画面高为xcm，宽为λxcm，
则λx2=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160，
将x=
代入上式得
S=5000+44
(8
+
)
当8
=
，即λ=
(
＜1)时，
S取得最小值，
此时高：x=
=88cm，
宽：λx=
×88=55cm
如果λ∈[
，
]，
可设
≤λ1＜λ2≤
，
则由S的表达式得
S（λ1）-S（λ2）
=44
(8
+
-8
-
)
=44
(
-
)(8-
)
由于
≥
＞
，故8-
＞0
因此S（λ1）-S（λ2）＜0，
所以S（λ）在区间[
，
]内单调递增．
从而，对于λ∈[
，
]，
当λ=
时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[
，
]，当λ=
时，
所用纸张面积最小．
则λx2=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx2+（16λ+10）x+160，
将x=
22
| ||
|
S=5000+44
| 10 |
| λ |
| 5 | ||
|
当8
| λ |
| 5 | ||
|
| 5 |
| 8 |
| 5 |
| 8 |
S取得最小值，
此时高：x=
|
宽：λx=
| 5 |
| 8 |
如果λ∈[
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
可设
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
则由S的表达式得
S（λ1）-S（λ2）
=44
| 10 |
| λ1 |
| 5 | ||
|
| λ2 |
| 5 | ||
|
=44
| 10 |
| λ1 |
| λ2 |
| 5 | ||
|
由于
| λ1λ2 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 8 |
| 5 | ||
|
因此S（λ1）-S（λ2）＜0，
所以S（λ）在区间[
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
从而，对于λ∈[
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 4 |
当λ=
| 2 |
| 3 |
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[
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| 3 |
| 3 |
| 4 |
| 2 |
| 3 |
所用纸张面积最小．
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