Question

计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm²，画面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留8cm空白，左、右各留5cm空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈[

2

3

，

3

4

]，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？

Answer 1

分析：设画面高为xcm，宽为λxcm，则依题意可求得宣传画面积的表达式，设纸张面积为S，根据题意得S=（x+16）（λx+10）把前面求得x代入，整理后，根据均值不等式求得S的最小值，进而求得此时的宽和高．如果λ∈[

2

3

，

3

4

]，根据求函数单调性的方法，设

2

3

≤λ1＜λ2≤

3

4

，求得S（λ₁）-S（λ₂）＜0，判断出函数在[

2

3

，

3

4

]内单调递增，进而可知λ=

2

3

时，S（λ）取得最小值．

解答：解：设画面高为xcm，宽为λxcm，
则λx²=4840
设纸张面积为S，则有
S=（x+16）（λx+10）=λx²+（16λ+10）x+160，
将x=

22 10

λ

代入上式得
S=5000+44

10

(8

λ

+

5

λ

)
当8

λ

=

5

λ

，即λ=

5

8

(

5

8

＜1)时，
S取得最小值，
此时高：x=

4840 λ

=88cm，
宽：λx=

5

8

×88=55cm
如果λ∈[

2

3

，

3

4

]，
可设

2

3

≤λ1＜λ2≤

3

4

，
则由S的表达式得
S（λ₁）-S（λ₂）
=44

10

(8

λ1

+

5

λ1

-8

λ2

-

5

λ2

)
=44

10

(

λ1

-

λ2

)(8-

5

λ11λ2

)
由于

λ1λ2

≥

2

3

＞

5

8

，故8-

5

λ1λ2

＞0
因此S（λ₁）-S（λ₂）＜0，
所以S（λ）在区间[

2

3

，

3

4

]内单调递增．
从而，对于λ∈[

2

3

，

3

4

]，
当λ=

2

3

时，S（λ）取得最小值
答：画面高为88cm、宽为55cm时，
所用纸张面积最小；
如果要求λ∈[

2

3

，

3

4

]，当λ=

2

3

时，
所用纸张面积最小．

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．在用均值不等式的时候要特别注意要验证一下等号是否能取到．