Question

椭圆的中心是原点O，它的短轴长为2，相应于焦点F(c，0)(c＞0)的准线l与x轴相交于点A，｜OF｜＝2｜FA｜，过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点． (1) 求椭圆的方程及离心率 (2) 若·＝0，求直线PQ的方程 (3) 设＝λ(λ＞1)，过点P且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M，证明：－λ．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：由题意，可设椭圆的方程为＋=1(a＞) 　　由已知得∴a=，c=2， 　　∴椭圆的方程为＋=1，e=． 　　分析：本题考查椭圆的标准方程及几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系以及解析几何的基本思想方法和综合解题的能力．
(2)	由(1)得A(3，0)．设直线PQ的方程为y=k(x－3)，则得(3k2十1)x2－18k2x＋27k2－6=0． 　　依题意得△=12(2－3k2)＞0，得－＜k＜． 　　设P(x1，y2)，Q(x2，y2)，则　 　　由直线PQ的方程得y1=k(x1－3)，y2=k(x2－3)，∴y1y2=k2(x1－3)(x2－3)=k2[x1x2－3(x1＋x2)＋9]．　　　　　　　③ 　　∵·=0，∴x1x2＋y1y2=0．　　④ 　　由①、②、③、④得5k2=1，∴k=±∈． 　　∴直线PQ的方程为x－y－3=0或x十y－3=0．
(3)	=(x1－3，y1)，=(x1－3，y2)，由已知得方程组 　　注意λ＞1，解得x2=． 　　∵F(2，0)，M(x1，－y1)， 　　∴=(x1－2，－y1)=(λ(x2－3)十1，－y1)－(，－y1)=－λ(，y2)． 　　而=(x2－2，y2)=(，y2)， 　　∴=－λ．