已知椭圆$M:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的左焦点为F1．(Ⅰ)设椭圆M与函数$y=\sqrt{x}$的图象交于点P.若函数$y=\sqrt{x}$在点P处的切线过椭圆的左焦点F1.求椭圆的离心率,(Ⅱ)设过点F1且斜率不为零的直线l交椭圆于A.B两点.连结AO并延长.交椭圆于点C.若椭圆的长半轴长a是大于1的给定常数.求△ABC的面积的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

3．已知椭圆$M：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点为F₁（-1，0）．
（Ⅰ）设椭圆M与函数$y=\sqrt{x}$的图象交于点P，若函数$y=\sqrt{x}$在点P处的切线过椭圆的左焦点F₁，求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设过点F₁且斜率不为零的直线l交椭圆于A、B两点，连结AO（O为坐标原点）并延长，交椭圆于点C，若椭圆的长半轴长a是大于1的给定常数，求△ABC的面积的最大值S（a）．

分析（Ⅰ）求出焦点坐标F₁为（-1，0），设$P（t，\sqrt{t}）$，求出${k_{P{F_1}}}=\frac{{\sqrt{t}}}{t+1}$，设椭圆M的右焦点为F₂（1，0），求出a，c，然后求解椭圆M的离心率．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l的方程为x=my-1，与椭圆联立，利用韦达定理，连结OB，由|OA|=|OC|知S_△ABC=2S_△AOB，求解面积表达式，通过①若$\frac{1}{b}≥1$，即$1＜a≤\sqrt{2}$，②若$0＜\frac{1}{b}＜1$，$a＞\sqrt{2}$，求解函数的最值表达式即可．

解答解：（Ⅰ）由题意，点F₁为（-1，0），设$P（t，\sqrt{t}）$，则${k_{P{F_1}}}=\frac{{\sqrt{t}}}{t+1}$，
又${k_{P{F_1}}}=（\sqrt{x}）'{|_{x=t}}=（\frac{1}{{2\sqrt{x}}}）{|_{x=t}}=\frac{1}{{2\sqrt{t}}}$，所以$\frac{{\sqrt{t}}}{t+1}=\frac{1}{{2\sqrt{t}}}$，解得t=1，即P（1，1），
设椭圆M的右焦点为F₂（1，0），则$2a=|P{F_1}|+|P{F_2}|=\sqrt{5}+1$，即$a=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$，
又半焦距c=1，所以椭圆M的离心率为$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$；…（5分）
（Ⅱ）因为椭圆M的半焦距c=1，所以a²-b²=1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l的方程为x=my-1，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ x=my-1\end{array}\right.$消去x得：（a²+b²m²）y²-2b²my+b²（1-a²）=0，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{{2{b^2}m}}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}{y_1}{y_2}=\frac{{{b^2}（1-{a^2}）}}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}=-\frac{b^4}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}$，…（7分）
连结OB，由|OA|=|OC|知S_△ABC=2S_△AOB，
∴${S_{△ABC}}=|O{F_1}|•|{y_1}-{y_2}|=\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{{2a{b^2}\sqrt{{m^2}+1}}}{{{a^2}+{b^2}{m^2}}}$…（9分）
令$\sqrt{{m^2}+1}=t$，则m²=t²-1（t≥1），∴${S_{△ABC}}=\frac{{2a{b^2}t}}{{{a^2}+{b^2}（{t^2}-1）}}=\frac{{2a{b^2}t}}{{1+{b^2}{t^2}}}=\frac{{2a{b^2}}}{{{b^2}t+\frac{1}{t}}}$，
①若$\frac{1}{b}≥1$，即$1＜a≤\sqrt{2}$，则${b^2}t+\frac{1}{t}≥2b=2\sqrt{{a^2}-1}$，
当且仅当$t=\frac{1}{b}$，即$m=±\sqrt{\frac{{2-{a^2}}}{{{a^2}-1}}}$时，$S（a）={（{S_{△ABC}}）_{max}}=a\sqrt{{a^2}-1}$；…（10分）
②若$0＜\frac{1}{b}＜1$，即$a＞\sqrt{2}$，设$f（t）={b^2}t+\frac{1}{t}$，则t≥1时，$f'（t）={b^2}-\frac{1}{t^2}=\frac{{{b^2}{t^2}-1}}{t^2}＞0$，
所以f（t）在[1，+∞）上单调递增，所以${[f（t）]_{min}}=f（1）={b^2}+1={a^2}$，当且仅当t=1，
即m=0时，$S（a）={（{S_{△ABC}}）_{max}}=\frac{{2（{a^2}-1）}}{a}$；…（12分）
综上可知：$S（a）=\left\{{\begin{array}{l}{a\sqrt{{a^2}-1}，1＜a≤\sqrt{2}}\\{\frac{{2（{a^2}-1）}}{a}，a＞\sqrt{2}}\end{array}}\right.$…（13分）