Question

已知数列中，，且（）。
（I）    求，的值及数列的通项公式；
（II）  （II）令，数列的前项和为，试比较与的大小；
（III）令，数列的前项和为，求证：对任意，都有。

Answer 1

（I）解：当时，，（1分）
当时，。（2分）
因为，所以。（3分）
当时，由累加法得，
因为，所以时，有。
即。
又时，，
故。（5分）
（II）解：时，，则。
记函数，
所以。
则0。
所以。（7分）
由于，此时；
，此时；
，此时；
由于，故时，，此时。
综上所述，当时，；当时，。（8分）
（III）证明：对于，有。
当时，。
所以当时，
。
且。
故对，得证。（10分）

本试题主要是考查了数列的通项公式与求和的综合运用，以及数列与不等式的关系的运用。
（1）利用已知的递推关系得到数列的前几项的值，并整体变形构造等差数列求解通项公式。
（2）利用第一问的结论，结合分组求和的思想和等比数列的求和得到结论。
（3））先分析通项公式的特点，然后裂项求和，证明不等是的成立问题。