已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合.极轴与x轴正半轴重合.且长度单位相同.直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}$.圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}sin$．(1)把圆方程化成圆的标准方程并求圆心的极坐标,(2)设直线l与圆C相交于M.N两点.求△MON� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知极坐标系的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，且长度单位相同，直线l的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}$（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$．
（1）把圆方程化成圆的标准方程并求圆心的极坐标；
（2）设直线l与圆C相交于M，N两点，求△MON的面积（O为坐标原点）．

分析（1）利用两角差的正弦公式化简$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$，求出圆C的标准方程和圆心直角坐标，再求出圆心的极坐标；
（2）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}\right.$代入圆的标准方程求出t的值，可得直线l与圆C相交点M，N的坐标，由两点之间的距离公式求出|MN|，求出直线l的普通方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线l的距离，再求出△MON的面积．

解答解：（1）由题意得$ρ=2\sqrt{2}sin（θ-\frac{π}{4}）$=2sinθ-2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ-2ρcosθ，则普通方程为：（x+1）²+（y-1）²=2，
则圆心坐标是（-1，1），
∴圆心的极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{3π}{4}）$；（5分）
（2）将$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}\right.$代入（x+1）²+（y-1）²=2，得t=±1，
所以直线l与圆C的交点M（0，2）、N（-2，0），
则|MN|=$\sqrt{（0+2）^{2}+（2-0）^{2}}$=$2\sqrt{2}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=t-1}\\{y=t+1}\end{array}}\right.$得，直线l的方程为x-y+2=0，
所以原点到直线l的距离为$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
所以△MON的面积S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2 （10分）

点评本题考查极坐标方程、参数方程与普通方程之间的转化，两角差的正弦公式，两点之间、点到直线的距离公式等，属于中档题．

练习册系列答案

	A．	向右平移$\frac{π}{12}$个单位		B．	向左平移$\frac{π}{12}$个单位
	C．	向右平移$\frac{π}{6}$个单位		D．	向左平移$\frac{π}{6}$个单位

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