Question

已知函数，其中且.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数有两个相异的零点.

(i)求实数的取值范围；

(ii)求证：.

Answer 1

（Ⅰ），                                          

由于，所以，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为.                  

(Ⅱ) ，。令。

（i）当时，在单调递增，在单调递减。

所以，即。                              

所以。                                                              

当时，，在单调递增，在单调递减，在单调递增，要使在上有两个相异零点，则，此时方程无解。

综上所得，实数的取值范围为。                                    

（ii）证明：先证明不等式：当时，对任意的，。

令，则，则在单调递减，又，所以，即对任意的，。    

由（Ⅰ）得函数的两个零点（不妨设）满足，故。

由于，又由（Ⅰ）得在单调递减，从而，即。