Question

如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，，，，点在上，．

（I）证明：平面⊥平面；

（II）若二面角的大小为，求的大小．

Answer 1

（I）证明：∵，，，       

∴

∵平面，∴，又∵

∴平面，又∵

∴平面，∴   

又∵，又∵

∴平面   

又∵平面

∴平面⊥平面   

（II）方法一：∵平面，平面，

∴平面⊥平面，又∵二面角的大小为.

∴二面角的大小等于.  

又∵平面，∴，，

∴为二面角的平面角，即.

∵，，∴.，∵∽，

∴，即，

∴，∴．…14分

方法二：如图，以为原点，，，所在射线为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系

A－xyz，设，，，， ，.

∵，，∴平面，

∴平面的一个法向量为. …9分

∵，∴.设，∴， 

∴.  

设平面的一个法向量为，∵，，

∴，得.    

∵二面角的大小为，

∴，解得

∴，，∴.