题目内容

如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为2+
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程．
（Ⅱ）过（1，0）点的直线L与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点A′（A′与B不重合），求证直线A′B与x轴交于一个定点，求此点坐标．
分析：（Ⅰ）根据椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为2+
3
，建立方程组，结合b2=a2-c2，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设出点的坐标，直线AB的方程，代入椭圆方程，可得直线A′B的方程，利用韦达定理，即可证得结论．
解答：（Ⅰ）解：∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），经过点（0，1），椭圆上点到焦点的最远距离为2+
3
，
∴
b=1
a+c=2+
3

∵b2=a2-c2
∴a-c=2-
3

∴a=2
∴椭圆C的方程为
x2
4
+y2=1；
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），则A′（x1，-y1），
直线AB的方程代入椭圆方程可得（1+4k2）x2-8k2x+k2-4=0
∴x1+x2=
8k2
1+4k2
，x1x2=
4k2-4
1+4k2

又直线A′B的方程为y-y2=
y1+y2
x2-x1
（x-x2）
令y=0可得x=
x1y2+x2y1
y1+y2
=
2kx1x2-k(x1+x2)
k(x1+x2-2)
=
2•
4k2-4
1+4k2
-
8k2
1+4k2
8k2
1+4k2
-2
=4
∴直线A′B与x轴交于一个定点，坐标为（4，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
2
=1焦点在x轴上，左、右顶点分别为A1、A，上顶点为B，抛物线C1、C2分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C1与C2相交于直线y=
2
x上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C1、C2的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q(-
2
，0），求
QM
.
QN
的最小值．
（2008•闸北区二模）如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A1、A2为椭圆C的左、右顶点．
（Ⅰ）设F1为椭圆C的左焦点，证明：当且仅当椭圆C上的点P在椭圆的左、右顶点时|PF1|取得最小值与最大值；
（Ⅱ）若椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程；
（Ⅲ）若直线l：y=kx+m与（Ⅱ）中所述椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且满足AA2⊥BA2，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
a2-1
=1的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2，P为以F1、F2为直径的圆上异于F1、F2的动点，直线PF1、PF2分别交椭圆C于M、N和D、E．
（1）证明：
AP
•
BP
为定值K；
（2）当K=-2时，问是否存在点P，使得四边形DMEN的面积最小，若存在，求出最小值和P坐标，若不存在，请说明理由．
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的顶点为A1、A2、B1、B2，焦点为F1，
F2，|A1B1|=
7
，
S?A1B1A2B 2=2S?B1F1B2F 2
（1）求椭圆C的方程；
（2）设l是过原点的直线，直线n与l垂直相交于P点，且n与椭圆相交于A，B两点，|OP|=1，求
AP
•
PB
的取值范围．
（2011•重庆三模）光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射．已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与双曲线C′：
x2
m2
-
y2
n2
=1(m＞0，n＞0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k（k∈N*）次反射后回到左焦点所经过的路径长为（　　）

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