Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

2

=1焦点在x轴上，左、右顶点分别为A₁、A，上顶点为B，抛物线C₁、C₂分别以A、B为焦点，其顶点均为坐标原点O．C₁与C₂相交于直线y=

2

x上一点P．
（Ⅰ）求椭圆C及抛物线C₁、C₂的方程；
（Ⅱ）若动直线l与直线OP垂直，且与椭圆C交于不同两点M、N，已知点Q(-

2

，0），求

QM

.

QN

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知，A（a，0），B(0，

2

)，故抛物线C₁的方程可设为y²=4ax，C₂的方程为x2=4

2

y．由此能求出椭圆C：

x2

16

+

y2

2

=1，抛物线C₁：y²=16x，抛物线C₂：x2=4

2

y．
（Ⅱ）由直线OP的斜率为

2

，知直线l的斜率为-

2

2

，设直线l方程为y=-

2

2

x+b，由

x2 16 + y2 2 =1 y=- 2 2 x+b

消去y，整理得5x2-8

2

bx+(8b2-16)=0，再由根的判别式和韦达定理进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意知，A（a，0），B(0，

2

)故抛物线C₁的方程可设为y²=4ax，C₂的方程为x2=4

2

y
则

y2=4ax x2=4 2 y y= 2 x

，得a=4，P(8，8

2

)
所以椭圆C：

x2

16

+

y2

2

=1，抛物线C₁y²=16x：，抛物线C₂：x2=4

2

y
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线OP的斜率为

2

，所以直线l的斜率为-

2

2

，
设直线l方程为y=-

2

2

x+b
由

x2 16 + y2 2 =1 y=- 2 2 x+b

消去y，整理得5x2-8

2

bx+(8b2-16)=0
因为直线l与椭圆C交于不同两点，所以△=128b²-20（8b²-16）＞0，
解得-

10

＜b＜

10

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

8 2 b

5

，x1•x2=

8b2-16

5

y1•y2=(-

2

2

x1+b)•(-

2

2

x2+b)=

1

2

x1•x2-

2 b

2

(x1+x2)+b2=

b2-8

5

因为

QM

=(x1+

2

，y1)，

QN

=(x2+

2

，y2)，
所以

QM

•

QN

=(x1+

2

，y1)•(x2+

2

，y2)=x1x2+

2

(x1+x2)+y1y2+2=

9b2+16b-14

5

因为-

10

＜b＜

10

，所以当b=-

8

9

时，

QM

•

QN

取得最小值，
其最小值等于

9×(- 8 9 )2+16×(- 8 9 )-14

5

=-

38

9

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．