Question

已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。

（I）求证：平面；

（II）求到平面的距离；

（III）求二面角的大小。

	2,4,6

 

Answer 1

解：（I）因为平面，

所以平面平面，

又，所以平面，

得，又

所以平面；

（II）因为，所以四边形为 

菱形，

故，又为中点，知。

取中点，则平面，从而面面，

       过作于，则面，

       在中，，故，

       即到平面的距离为。

       （III）过作于，连，则，

       从而为二面角的平面角，

       在中，，所以，

在中，，

       故二面角的大小为。

       解法2：（I）如图，取的中点，则，因为，

       所以，又平面，

       以为轴建立空间坐标系，

       则，，，

，，

，，

，由，知，

       又，从而平面；

       （II）由，得。

       设平面的法向量为，，，所以

，设，则

       所以点到平面的距离。

       （III）再设平面的法向量为，，，

       所以

，设，则，

       故，根据法向量的方向，

       可知二面角的大小为。