Question

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常数m＞0），区间D为g（x）的值域，若D的长度为23-2m，求此时m的值．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）=0，知b=a+1，由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=（a-1）²≤0，由此能求出f（x）．
（2）由题设知g（x）=x²-14x+1，23-2m=g（x）_max-g（x）_min，由此进行分类讨论，能求出m的值．

解答：（本题12分）
解：（1）∵f（-1）=0，∴b=a+1，
由f（x）≥0恒成立，知a＞0，且△=b²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1．
∴f（x）=x²+2x+1．（3分）
（2）∵g（x）=f（x）-16x（x∈[m，10]，其中常数m＞0），区间D为g（x）的值域，
D的长度为23-2m，
∴g（x）=x²-14x+1，23-2m=g（x）_max-g（x）_min，（5分）
①当m∈[7，10）时，23-2m=g（10）-g（t）=-m²+16m，得：m=7或9．（7分）
②当m∈[4，7）时，23-2m=g（10）-g（7），得m=7（舍）．（9分）
③当m∈（0，4）时，23-2m=g（m）-g（7），m²-12m+26=0，
解得：m=

12+2 10

2

（舍）或m=

12-2 10

2

=6-

10

．（11分）
综合得m=6-

10

，或m=7，或m=9．（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查满足条件的实数值．解题时要认真审题，注意配方法、等价转化思想、分类讨论思想的合理运用．