已知函数$y=x+\frac{t}{x}$有如下性质:如果常数t＞0.那么该函数在$(0.\sqrt{t}]$上是减函数.在$[\sqrt{t}.+∞)$上是增函数．=$\frac{4{x}^{2}+4x+5}{2x+1}$-8.x∈[0.1].利用上述性质.求函数f(x)的单调区间和值域,和函数g(x)=-x-2a.若对任意x1∈[0.1].总存在x2∈[0.1].使� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知函数$y=x+\frac{t}{x}$有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在$（0，\sqrt{t}]$上是减函数，在$[\sqrt{t}，+∞）$上是增函数．
（1）已知f（x）=$\frac{4{x}^{2}+4x+5}{2x+1}$-8，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；
（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

分析（1）化简f（x），设u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，则$y=u+\frac{4}{u}-8$，u∈[1，3]．运用性质，即可得到单调区间和值域；
（2）求得g（x）的值域，由题意f（x）的值域是g（x）值域的子集，得到不等式组，即可得到a的范围．

解答解：（1）$y=f（x）=\frac{{4{x^2}-12x-3}}{2x+1}=2x+1+\frac{4}{2x+1}-8$，
设u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，
则$y=u+\frac{4}{u}-8$，u∈[1，3]．
由已知性质得，当1≤u≤2，即$0≤x≤\frac{1}{2}$时，f（x）单调递减，
所以减区间为$[0，\frac{1}{2}]$；当2≤u≤3，即$\frac{1}{2}≤x≤1$时，f（x）单调递增，
所以增区间为$[\frac{1}{2}，1]$；由f（0）=-3，$f（\frac{1}{2}）=-4$，$f（1）=-\frac{11}{3}$，
得f（x）的值域为[-4，-3]．
（2）g（x）=-x-2a为[0，1]上的减函数，
故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]，
由题意f（x）的值域是g（x）值域的子集，
∴$\left\{\begin{array}{l}-1-2a≤-4\\-2a≥-3\end{array}\right.$，∴$a=\frac{3}{2}$．
即a的取值范围是{$\frac{3}{2}$}．

点评本题考查函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．