Question

已知A，B，C为△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA在x=

5π

12

处取得最大值．
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值；
（Ⅱ）若sinB+sinC=

13 3

14

，a=7，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）利用两角和公式对函数解析式进行两次化简整理，得出关于x的正弦函数，在利用三角函数的性质求得A，和f（x）在区间上的最小值．
（Ⅱ）利用正弦定理表示出用sinA和a，b，c表示出sinB+sinC，求得b+c的值，再利用余弦定理公式求得bc的值，最后通过三角形面积公式取得三角形的面积．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA
=2cosx（sinxsinA-cosxcosA）+sinA
=sin2xcosA-cos2xsinA
=sin（2x-A）．
∵f（x）在x=

5π

12

处取得最大值，
∴2×

5π

12

-A=2kπ+

π

2

（k∈Z），即A=

π

3

-2kπ（k∈Z），
∵A∈（0，π），
∴A=

π

3

．
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-A∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴-

3

2

≤sin（2x-A）≤1，
∴函数f（x）的最小值为-

3

2

．
（2）由正弦定理得sinB+sinC=

bsinA

a

+

csinA

a

=

b+c

a

sinA，
∴

b+c

7

×

3

2

=

13 3

14

，
∴b+c=13，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，
∴bc=40，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

．

点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象与性质．综合考查了三角函数的基础知识．