题目内容

研究函数单调性的必要条件是什么？

答案：
解析：

　　导思：此问题主要考查学生逆向思维能力，考虑问题要全方位进行，有利于培养数学思维能力．

　　探究：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果y＝f(x)在该区间上单调递增(或递减)，则在该区间内(x)＞0〔或(x)＜0〕，但当(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在该区间上仍旧是单调递增(或递减)的．

　　例如在x∈(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3：当x＝0时，(x)＝0；当x≠0时，(x)＞0．而f(x)＝x3，显然在(－∞，＋∞)上是单调增函数．


练习册系列答案
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已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（Ⅲ）求不等式f（x2+2x）+f（x-4）＞0的解．

已知函数f(x)=ex-ax，其中a＞0.

（1）若对一切x∈R，f(x) 1恒成立，求a的取值集合；

（2)在函数f(x)的图像上去定点A（x1, f(x1)）,B(x2, f(x2))(x1<x2)，记直线AB的斜率为k，证明：存在x0∈（x1,x2）,使恒成立.

【解析】解：令.

当时单调递减；当时单调递增，故当时，取最小值

于是对一切恒成立，当且仅当.　　　　　　　　①

令则

当时，单调递增；当时，单调递减.

故当时，取最大值.因此，当且仅当时，①式成立.

综上所述，的取值集合为.

（Ⅱ）由题意知，令则

令，则.当时，单调递减；当时，单调递增.故当，即

从而，又

所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在使即成立.

【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R，f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.

 

已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）当时，求函数在区间上的最值.

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用求解函数的最值问题，和判定函数单调性的运用。

 

已知函数

（I）若是的极值点，求的极值；

（Ⅱ）若函数是上的单调递增函数，求实数的取值范围.

【解析】本试题主要考查了导数在研究函数中的运用，求解函数的机制和函数单调性的逆用问题。

 

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