Question

已知函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性的定义加以证明；
（Ⅲ）求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函数的奇偶性的定义建立方程，即可求k．（Ⅱ）利用函数的单调性的定义证明．（Ⅲ）利用函数的单调性和奇偶性的性质，解不等式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
经检验k=1符合题意．
（Ⅱ）∵f（x）=a^x-a^-x，f（1）＞0，
∴f（1）=a-

1

a

＞0，
∵a＞0且a≠1，∴解得a＞1，
则函数f（x）在R上单调递增．
用定义证明（x）在R上单调递增．
设x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=ax1-a-x1-ax2+a-x2=ax1-ax2+

1

ax2

-

1

ax1

=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax2ax1

=(ax1-ax2)(1+

1

ax2ax1

)，
∵a＞1，∴函数y=a^x为增函数，
∴当x₁＜x₂时，0＜ax1＜ax2，即ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增．
（Ⅲ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0等价为f（x²+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
又∵f（x）在R上单调递增．
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或 x＜-4．
即不等式的解集为{x|x＞1或 x＜-4}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数单调性的证明，以及利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查函数性质的综合应用．