Question

设数列{a_n}满足a1+2a2+22a3+…+2n-1an=

n

2

，n∈N*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

log 1 2 an

，c_n=

bnbn+1

n+1 + n

，记S_n=c₁+c₂+…+c_n，证明：S_n＜1．

Answer 1

分析：（1）由题意，a1+2a2+22a3+…+2n-2•an-1+2n-1an=

n

2

，当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，所以2n-1an=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

，故当n≥2时，an=

1

2 n

，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 ( 1 2 )n

=

1

n

．知cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能够证明S_n＜1．

解答：解：（1）由题意，a1+2a2+22a3+…+2n-2•an-1+2n-1an=

n

2

，
当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=

n-1

2

，
两式相减，得2n-1an=

n

2

-

n-1

2

=

1

2

，
所以，当n≥2时，an=

1

2 n

，…（4分）
当n=1时，a1=

1

2

也满足上式，
所求通项公式an=

1

2 n

，n∈N^*．…（6分）
（2）∵bn=

1

log 1 2 an

=

1

log 1 2 ( 1 2 )n

=

1

n

．…（8分）
cn=

n+1 - n

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（10分）
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)
=1-

1

n+1

＜1．…（12分）

点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．