题目内容
已知函数f（x）=x2+
（x＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=
时，若P（x1，f（x1）），Q（x2f（x2））（0＜x1＜x2）是函数图象上的两点，且存在实数x＞0，使得f′（x）=
．证明：x1＜x＜x2．
【答案】分析：（1）可求得f′（x）=
，通过对a分a≤0与a＞0讨论，即可求得f（x）的单调区间；
（2）a=
时，f（x）=x2+
（x＞0），f′（x）=2x-
，依题意可得2x-
=（x2+x1）-
，即x是方程2x-
-（x2+x1）+
=0的根，构造函数g（x）=2x-
-（x2+x1）+
，利用零点存在定理即可证得结论．
解答：（1）解：f′（x）=2x-
=
…（1分）
①当a≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增； …（3分）
②当a＞0时，当0＜x＜
时，f′（x）＜0，函数在（0，
）上单调递减；
当x＞
时，f′（x）＞0，函数在[
，+∞）上单调递增．…（5分）
综上可知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，递增区间为（0，∞）；
当a＞0时，函数f（x）单调递减区间为（0，
）；单调递增区间为[
，+∞）．…（6分）
（2）当a=
时，f（x）=x2+
（x＞0），此时f′（x）=2x-
，…（7分）
=
=
=（x2+x1）-
，
从而原等式为2x-
=（x2+x1）-
．…（8分）
由题意可得x是方程2x-
-（x2+x1）+
=0的根，…（9分）
令g（x）=2x-
-（x2+x1）+
，
g（x1）=2x1-
+
-x1-x2=（x1-x2）-
=（x1-x2）（1+
）＜0，…（11分）
g（x2）=2x2-
+
-x1-x2=（x2-x1）-
=（x2-x1）（1+
）＞0，…（12分）
g（x1）•g（x2）＜0，由零点的存在性定理，可知：
∴x1＜x＜x2．…（14分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用．考查运算、抽象思维与推理证明的能力，属于难题．
，通过对a分a≤0与a＞0讨论，即可求得f（x）的单调区间；（2）a=
时，f（x）=x2+
（x＞0），f′（x）=2x-
，依题意可得2x-
=（x2+x1）-
，即x是方程2x-
-（x2+x1）+
=0的根，构造函数g（x）=2x-
-（x2+x1）+
，利用零点存在定理即可证得结论．解答：（1）解：f′（x）=2x-
=
…（1分）①当a≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增； …（3分）
②当a＞0时，当0＜x＜
时，f′（x）＜0，函数在（0，
）上单调递减；当x＞
时，f′（x）＞0，函数在[
，+∞）上单调递增．…（5分）综上可知，当a≤0时，函数f（x）单调递增，递增区间为（0，∞）；
当a＞0时，函数f（x）单调递减区间为（0，
）；单调递增区间为[
，+∞）．…（6分）（2）当a=
时，f（x）=x2+
（x＞0），此时f′（x）=2x-
，…（7分）
=
=
=（x2+x1）-
，从而原等式为2x-
=（x2+x1）-
．…（8分）由题意可得x是方程2x-
-（x2+x1）+
=0的根，…（9分）令g（x）=2x-
-（x2+x1）+
，g（x1）=2x1-
+
-x1-x2=（x1-x2）-
=（x1-x2）（1+
）＜0，…（11分）g（x2）=2x2-
+
-x1-x2=（x2-x1）-
=（x2-x1）（1+
）＞0，…（12分）g（x1）•g（x2）＜0，由零点的存在性定理，可知：
∴x1＜x＜x2．…（14分）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在定理的应用．考查运算、抽象思维与推理证明的能力，属于难题．
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| 2 |
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| ||
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| ||
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|