Question

设

OA

=(t，1)(t∈Z)，

OB

=(2，4)，满足|

OA

|≤3，则当△OAB是直角三角形时t的值为

 

．

Answer 1

分析：根据

OB

=(2，4)，可求出OB=2

5

＞OA，根据△OAB是直角三角形，分类讨论，当∠AOB=90°时或当∠OBA=90°时，或∠OAB=90°，利用向量垂直的充要条件

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得结果．

解答：解：∵OB=2

5

＞OA
∴1°当∠AOB=90°时，有2t+4=0，
解得t=-2，
2°当∠OBA=90°时，有

BA

=

OA

-

OB

=（t-2，-3）
∴

OB

•

BA

=2（t-2）-12=0，
解得t=8，
因为|

OA

|≤3，所以t=8，不满足题意，舍去，
3°当∠OAB=90°，

OA

•

BA

=0，
t（t-2）-3=0，解得t=-1或t=3（舍去）；
综上t=-2，或t=-1；
故答案为：-2或-1．

点评：本题考查利用向量的数量积判断两向量的垂直关系，注意向量垂直的充要条件

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0，和三角形是直角三角形要分类讨论，体现了分类讨论的思想，同时考查了运算能力，属中档题．