Question

设

OA

=(t，1)(t∈Z)，

OB

=(2，4)，满足|

OA

|≤4，则△OAB不是直角三角形的概率是

 

．

Answer 1

分析：根据

OB

=(2，4)，可求出OB=2

5

＞OA，根据△OAB是直角三角形，分类讨论，当∠AOB=90°时或当∠OAB=90°时，利用向量垂直的充要条件

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)，

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0，即可求得结果．

解答：解：∵OB=2

5

＞OA
∴1°当∠AOB=90°时，有2t+4=0，
解得t=-2，
2°当∠OAB=90°时，有

BA

=

OA

-

OB

=（t-2，-3）
∴

OA

•

BA

=t（t-2）-3=0，
解得t=-1或3，
综上t=-1，或t=-2或t=3；
又已知满足|

OA

|≤4，
即t²+1≤16，（t∈Z）t共有7种情况，满足三角形为直角的有3个，
△OAB不是直角三角形的概率是1-

3

7

=

4

7

故答案为

4

7

．

点评：本题考查利用向量的数量积判断两向量的垂直关系，注意向量垂直的充要条件

a

=(x1，y1)，

b

=(x2，y2)

a

⊥

b

?x₁x₂+y₁y₂=0，和三角形是直角三角形要分类讨论，体现了分类讨论的思想，同时考查了运算能力，属中档题．