Question

【题目】已知椭圆：（）的右顶点与抛物线：（）的焦点重合.的离心率为，过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为.

（1）求椭圆和抛物线的方程；

（2）过点的直线l与椭圆交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为点E，证明：直线过定点.

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析

【解析】

（1）由题意可得，由于椭圆的离心率可得a，c的关系，进而可得p，c的关系，再由过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为可得c的值，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；

（2）设直线的方程，及A，B的坐标由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.

（1）由的离心率为，可得，所以，

因为椭圆的右顶点与抛物线的焦点重合，所以，，

所以可得，

过的右焦点F且垂直于x轴的直线截所得的弦长为，k令代入抛物线的方程：可得，所以，

即，解得，所以，

由可得，

所以椭圆和抛物线的方程分别为：，；

（2）由题意可得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为：，设，，由题意可得，

直线与椭圆联立：，

整理可得：，，

可得，，，

直线的方程为：，

整理可得：

所以当时，，即过定点，

所以可证直线过定点.