Question

8．过两点A（1，0），B（2，1），且圆心在直线x-y=0上的圆的标准方程是（x-1）²+（y-1）²=1．

Answer 1

分析 根据A、B的坐标算出AB的斜率k=1，线段AB的中点为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），进而算出线段AB中垂线的方程为y=-x+2．由题意得圆心C为AB的中垂线与直线x-y=0的交点，联解两直线的方程得圆心为C（1，1），再利用两间点的距离公式算出半径r=1，可得所求圆的标准方程．

解答 解：∵点A（1，0）、B（2，1），
∴直线AB的斜率为k=$\frac{1-0}{2-1}$=1，线段AB的中点为（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$），
由此可得AB的垂直平分线的斜率k′=-1
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-$\frac{1}{2}$=-（x-$\frac{3}{2}$），化简得y=-x+2，
∵点A、B在圆上，且圆心在直线x-y=0上，
∴解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，
可得圆心的坐标为（1，1），
圆的半径为r=|AC|=$\sqrt{（1-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=1，
∴所求圆的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
故答案为：（x-1）²+（y-1）²=1．

点评 本题求经过定点A、B，且圆心在定直线上的圆方程．着重考查了直线的基本量与基本形式、两点间的距离公式、圆的标准方程等知识，属于基础题．