Question

已知函数，，.
（1）求证：函数在上单调递增；
（2）若函数有四个零点，求的取值范围.

Answer 1

（1）详见解析；（2）实数的取值范围是.

试题分析：（1）直接利用导数证明函数在上单调递增，在证明过程中注意导函数的单调性；（2）将函数的零点个数问题转化为函数图象的交点个数问题处理，但需注意将式子中的绝对值符号去掉，并借助函数的最值出发，构造有关参数的不等式组，再求解参数的取值范围.
试题解析：（1），，，
，
，所以，且函数在上单调递增，
故函数在上单调递增，，即，
故函数在上单调递增；
（2），
，，当时，，则，所以且，
，故函数在上单调递减，由（1）知，函数在上单调递增，
故函数在处取得极小值，亦即最小值，即，
令，则有，则有或，
即方程与方程的实根数之和为四，
则有，解得或，
综上所述，实数的取值范围是.