Question

（本小题满分13分）

如图，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆短轴的一个端点，过的直线与椭圆交于两点，的面积为，的周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点的坐标为，是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆，使得该圆与直线都相切，如存在，求出点坐标及圆的方程，如不存在，请说明理由．

Answer 1

解（Ⅰ） 由题意知：，解得

∴ 椭圆的方程为   

（Ⅱ）假设存在椭圆上的一点，使得

直线与以为圆心的圆相切，

则 到直线的距离相等,

：        

：      

   

化简整理得：      

∵ 点在椭圆上，∴

解得： 或 （舍）    

时，，，

∴ 椭圆上存在点，其坐标为或，使得直线与以为圆心的圆相切。