Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为正方形，侧面PAD为直角三角形，且PA=PD，面PAD⊥面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面PBC；
（Ⅱ）求证：AP⊥面PCD．

Answer 1

【答案】证明：（I）法1：取PC中点G，连接FG、BG

因为F、G分别为PD、PC的中点，

所以FG∥CD且 ；

因为ABCD为正方形，所以BE∥CD，

又因为E为AB中点，所以 ，

所以BE∥FG，且BE=FG，

所以BEFG为平行四边形，所以EF∥BG；

因为EF面PBC，BG面PBC，

所以EF∥面PBC

法2：取CD中点H，连接FH，EH，

因为F，H分别为PD、CD的中点，

所以FH∥PC，EH∥BC；

又FH平面EFH，EH平面EFH，PC面PBC，BC面PBC，

且FH∩EH=H，

所以平面EFH∥平面PBC，

又因为EF平面EFH，

所以EF∥面PBC；

（II）因为ABCD为正方形，

所以CD⊥AD，

面PAD⊥面ABCD且AD为交线，

所以CD⊥面PAD，

AP面PAD，所以CD⊥AP，

PAD为直角三角形，且PA=PD，

所以PD⊥AP，

又CD∩PD=D，

所以，AP⊥面PCD；

【解析】（I）法1：取PC中点G，连接FG、BG，可得BE∥CD，又 ，可得BEFG为平行四边形，即证明EF∥BG，进而判定EF∥面PBC；法2：取CD中点H，连接FH，EH，通过证明平面EFH∥平面PBC，进而判定EF∥面PBC．（II）利用线面垂直的性质可得CD⊥AP，进而证明PD⊥AP，即可证明线面垂直．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)的相关知识才是答题的关键．