题目内容
△ABC的三个顶点都在椭圆4x2+5y2=80上，点A是椭圆短轴的上端点，且这个三角形的重心是椭圆的右焦点，求直线BC的方程．分析：设B（x1，y1），C（x2，y2）进而根据椭圆方程求得b和c，进而可求得A，F1的坐标，根据三角形的重心的性质可分别求得x1+x2和y1+y2，把B，C点代入椭圆方程后两式相减，进而求得直线BC的斜率，设出直线BC的方程，把B，C点坐标代入两式相加求得b，则直线BC方程可得．
解答：解：设B（x1，y1），C（x2，y2）．
整理椭圆方程得
+
=1
∴短轴b=4 a=2
∴c=
=2，则A（0，4 ） F1（2，0）
∴
=2，x1+x2=6
同理y1+y2=-4
又4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0
∴k=
k为BC斜率
令BC直线为：y=
x+b
则：y1+y2=
（x1+x2）+2b
b=-
∴BC直线为：y=
x-
即5y-6x+28=0
整理椭圆方程得
| x2 |
| 20 |
| y2 |
| 16 |
∴短轴b=4 a=2
| 5 |
∴c=
| 20-16 |
∴
| 0+x1+x2 |
| 3 |
同理y1+y2=-4
又4（x1+x2）+5（y1+y2）×k=0
∴k=
| 6 |
| 5 |
令BC直线为：y=
| 6 |
| 5 |
则：y1+y2=
| 6 |
| 5 |
b=-
| 28 |
| 5 |
∴BC直线为：y=
| 6 |
| 5 |
| 28 |
| 5 |
即5y-6x+28=0
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等，突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．
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