题目内容
（2013•杨浦区一模）椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F（2，0），且椭圆T过点E（2，
）．△ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M，N，P．
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：
+
+
为定值．
| 2 |
（1）求椭圆T的方程；
（2）设△ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且ki≠0，i=1，2，3．若直线OM，ON，OP的斜率之和为0，求证：
| 1 |
| k1 |
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| k3 |
分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，即可确定椭圆的标准方程；
（2）利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM，ON，OP的斜率之和为0，即可得到结论．
（2）利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线OM，ON，OP的斜率之和为0，即可得到结论．
解答：解：（1）设椭圆T的方程为
+
=1（a＞b＞0），
由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=
+3
，
解得a=2
，
∵c=2，∴b=
=2．
故椭圆T的方程为
+
=1…（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），
由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，两式相减，得到
（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0
所以k1=
=-
•
=-
，即
=-
，…（9分）
同理
=-
，
=-
所以
+
+
=-2(
+
+
)，
又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，
所以
+
+
=0 …（13分）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
由题意知：左焦点为F′（-2，0），所以2a=|EF|+|EF′|=
| 2 |
| 2 |
解得a=2
| 2 |
∵c=2，∴b=
| a2-c2 |
故椭圆T的方程为
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），M（s1，t1），N（s2，t2），P（s3，t3），
由：x12+2y12=8，x22+2y22=8，两式相减，得到
（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0
所以k1=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 1 |
| 2 |
| x1+x2 |
| y1+y2 |
| s1 |
| 2t1 |
| 1 |
| k1 |
| 2t1 |
| s1 |
同理
| 1 |
| k2 |
| 2t2 |
| s2 |
| 1 |
| k3 |
| 2t3 |
| s3 |
所以
| 1 |
| k1 |
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| k3 |
| t1 |
| s1 |
| t2 |
| s2 |
| t3 |
| s3 |
又因为直线OM，ON，OP的斜率之和为0，
所以
| 1 |
| k1 |
| 1 |
| k2 |
| 1 |
| k3 |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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