题目内容
14．从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，则该矩形面积的取值范围是（ ）| A． | [m2，2m2] | B． | [2m2，3m2] | C． | [3m2，4m2] | D． | [4m2，5m2] |
分析 在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，表示出圆的内接矩形长和宽，可得矩形的面积，由e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，∴$\frac{3}{4}≤\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{21}{25}$⇒2b≤a≤$\frac{5}{2}b$，得：4b2≤2ab≤5b2即可
解答 解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
椭圆的离心率为e，且e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，∴$\frac{3}{4}≤\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{21}{25}$⇒2b≤a≤$\frac{5}{2}b$，
得：4b2≤2ab≤5b2，矩形面积的取值范围是[4m2，5m2]．
故选：D．
点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查椭圆的参数方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
：
的左焦点为
，
为椭圆上一点，
交
轴于点
，且
为
的中点．
的方程；
与椭圆
有且只有一个公共点
，平行于
的直线交
于
，交椭圆
于不同的亮点
，
，问是否存在常熟
，使得
，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．
2．若直线y=x+b与圆x2+y2=1有公共点，则实数b的取值范围是（ ）
| A． | [-1，1] | B． | [0，1] | C． | [0，$\sqrt{2}$] | D． | [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$] |
9．已知F1和F2分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y2=1的左焦点和右焦点，点P（x0，y0）是椭圆C上一点，切满足∠F1PF2≥60°，则x0的取值范围是（ ）
| A． | [-1，1] | B． | [-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$] | C． | [1，$\sqrt{2}$] | D． | [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$] |
6．已知F1（-c，0），F2（c，0）为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
| A． | $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$ | B． | $[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$ | C． | $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$ | D． | $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$ |
3．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，关于x的不等式f2（x）-af（x）＞0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
| A． | [$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$） | B． | [$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln3}{3}$） | C． | （$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$] | D． | （$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln3}{3}$] |