Question

如图，已知椭圆=1（a＞b＞0），F₁、F₂分别为椭
圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF₂交椭圆于另一
点B、
（1）若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；
（2）若=2，•=，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据∠F₁AB=90°推断出△AOF₂为等腰直角三角形，进而可知OA=OF₂，求得b和c的关系，进而可求得a和c的关系，即椭圆的离心率．
（2）根据题意可推断出A，和两个焦点的坐标，设出B的坐标，利用已知条件中向量的关系，求得x和y关于c的表达式，代入椭圆方程求得a和c的关系，利用•=求得a和c的关系，最后联立求得a和b，则椭圆方程可得．
解答：解：（1）若∠F₁AB=90°，则△AOF₂为等腰直角三角形，所以有OA=OF₂，即b=C、
所以a=c，e==．
（2）由题知A（0，b），F₁（-c，0），F₂（c，0），
其中，c=，设B（x，y）．
由=2?（c，-b）=2（x-c，y），解得x=，
y=-，即B（，-）．
将B点坐标代入=1，得+=1，
即+=1，
解得a²=3c²．①
又由•=（-c，-b）•（，-）=
⇒b²-c²=1，
即有a²-2c²=1．②
由①，②解得c²=1，a²=3，从而有b²=2．
所以椭圆方程为+=1．
点评：本题主要考查了椭圆的应用和椭圆的简单性质，向量的基本性质．注意挖掘题意中隐含的条件，充分利用．