Question

（12分）如图，已知椭圆=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为，左、右焦点分别为F1、F2. 点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2, 证明：=2；

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）因为椭圆过点（1,），e=. 所以，.

又a2=b2+c2，

所以a=,b=1, c=1.

（2）（i）证明：方法一：由于F1(－1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，且点P不在x轴上.

所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0.

又直线PF1，PF2的方程分别为y=k1(x+1),y=k2(x－1),

联立方程解得

所以P.

因此2k1k2+3k1－k2=0，即，结论成立.

方法二：设P(x0,y0)，

则k1=, k2=,

因为点P不在x轴上，所以y0≠0.

又x0+y0=2,

所以