Question

3．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：
（i）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；
（ii）当x∈（1，2]时，f（x）=2-x．
（1）当x∈（2，4]时，求f（x）的解析式；
（2）寻求“函数f（x）在区间（a，b）上为单调函数”的充要条件；
（3）是否存在n∈z，使得f（2ⁿ+1）=9，若存在，则求出n的值，若不存在，请说明理由；
（4）试写出函数f（x）的解析式，指出函数有关性质（不必证明）．

Answer 1

分析 （1）令x∈（2，4]，则$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，由满足的两个条件，即可得到所求；
（2）运用已知解析式，结合条件，即可得到所求单调区间；
（3）由（2）的结论，解方程，假设存在，即可判断是否存在；
（4）由（2），写出解析式，以及函数的定义域和值域，及单调性．

解答 解：（1）令x∈（2，4]，则$\frac{1}{2}$x∈（1，2]，
即有f（$\frac{x}{2}$）=2-$\frac{x}{2}$，
又f（2x）=2f（x），即有f（x）=2f（$\frac{x}{2}$）=2（2-$\frac{x}{2}$）=4-x，
当x∈（2，4]时，f（x）=4-x；
（2）由x∈（1，2]时，f（x）=2-x为递减函数，
可得x∈（2，4]时，f（x）=4-x为递减函数，
由对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立，
可得x∈（4，8]时，f（x）=8-x为递减函数，
…，x∈（2^n-1，2ⁿ]时，f（x）=2ⁿ-x为递减函数，
推广，当n∈Z，可得当x∈（2^n-1，2ⁿ]时，
f（x）=2ⁿ-x为递减函数．
即有“函数f（x）在区间（a，b）上为单调函数”的充要条件为（a，b）=（2^n-1，2ⁿ]，n为整数；
（3）由x∈（2^m-1，2^m]时，f（x）=2^m-x，
可令f（x）=9，x=2^m-9，假设存在，即有2^m-9═2ⁿ+1，
即为2^m-2ⁿ=10=2×5，方程无整数解，
故不存在n∈z，使得f（2ⁿ+1）=9；
（4）x∈（2^n-1，2ⁿ]时，f（x）=2ⁿ-x，n为整数，
定义域为（0，+∞），值域为[0，2^n-1），
在区间（2^n-1，2ⁿ]（n为整数）为减函数．

点评 本题考查函数的解析式的求法和性质及运用，考查运算能力，属于中档题．