Question

13．若$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$均为单位向量，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）≤0，则|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的最大值为1．

Answer 1

分析 由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）≤-$\frac{3}{2}$，再根据|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+2\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}$≤1，从而求得|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：由题意可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×1×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{c}$）≤0，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$+${\overrightarrow{c}}^{2}$≤0，
即 $\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}$+$\frac{3}{2}$=$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）+$\frac{3}{2}$≤0，$\overrightarrow{c}$•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）≤-$\frac{3}{2}$，
∴|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow{b}}^{2}{+\overrightarrow{c}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}$=$\sqrt{4+2\overrightarrow{c}•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}$≤$\sqrt{4-3}$=1，
故|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$|的最大值为1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．