Question

【题目】数列与满足，，是数列的前项和（）.

（1）设数列是首项和公比都为的等比数列，且数列也是等比数列，求的值；

（2）设，若且对恒成立，求的取值范围；

（3）设，，（，），若存在整数，，且，使得成立，求的所有可能值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）和

【解析】

（1）直接利用等比数列的定义和等比中项的应用求出结果．

（2）利用累加法和恒成立问题的应用和赋值法的应用求出结果．

（3）利用存在性问题的应用和赋值法的应用求出结果．

解：（1） 由条件得，，即，

则，，设等比数列的公比为，

则，又，则.

当，时，，，

则满足题意，

故所求的的值为.

（2）当时，， ，，，

以上个式子相加得，，

又，则，

即. 由知数列是递增数列，

又，要使得对恒成立，

则只需，即，则.

（3） 由条件得数列是以为首项，为公差的等差数列，

则，，

则.

则，

当时，，

即时，，

则当时，与矛盾.

又，即时，.

当时，，

又，

即当，时，，与矛盾.

又，则或，

当时，，解得；

当时，，解得.

综上得的所有可能值为和.