Question

用[a]表示不大于a的最大整数．令集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和m∈N*，定义，集合，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{a_n}．
（Ⅰ）求f（1，2）的值；
（Ⅱ）求a₉的值；
（Ⅲ）求证：在数列{a_n}中，不大于的项共有f（m，k）项．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据新的定义列式，然后根据[a]表示不大于a的最大整数进行求解，即可求出所求；
（II）根据数列{a_n}是将集合A中的元素按从小到大的顺序排立而成，然后设计一表格，从而求出a₉的值；
（III）分别求出（II）中表格的每一行共有多少个数不大于，然后相加，即可根据定义即可得到结论．
解答：（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知知=1+1+0+0+0=2．
所以f（1，2）=2．                                                    …（4分）
（Ⅱ）因为数列{a_n}是将集合中的元素按从小到大的顺序排立而成，
所以我们可设计如下表格

km	1	2	3	4	5	‥‥	m
1					‥‥		‥‥
2					‥‥
3				‥‥	‥‥
4				‥‥	‥‥
5				‥‥	‥‥

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．
且＜＜＜＜＜＜＜＜＜＜‥‥
所以 ．                                                    …（8分）
（Ⅲ）任取m₁，m₂∈N*，k₁，k₂∈P，
若，则必有m₁=m₂，k₁=k₂．
即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．
对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有m₁的数不大于，
则m₁，即m₁，所以m₁=，
同理，第二行共有m₂的数不大于，有m₂=，
第i行共有m_i的数不大于，有m_i=．
所以，在数列{a_n}中，不大于的项共有项，即f（m，k）项．
…（13分）
点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键是读懂新的定义，同时考查了计算能力，属于中档题．