Question

（2011•丰台区二模）用[a]表示不大于a的最大整数．令集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和m∈N*，定义f(m， k)=

5

i=1

[m

k+1 i+1

]，集合A={m

k+1

|m∈N*， k∈P}，并将集合A中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列{a_n}．
（Ⅰ）求f（1，2）的值；
（Ⅱ）求a₉的值；
（Ⅲ）求证：在数列{a_n}中，不大于m0

k0+1

的项共有f（m₀，k₀）项．

Answer 1

分析：（I）根据新的定义列式，然后根据[a]表示不大于a的最大整数进行求解，即可求出所求；
（II）根据数列{a_n}是将集合A中的元素按从小到大的顺序排立而成，然后设计一表格，从而求出a₉的值；
（III）分别求出（II）中表格的每一行共有多少个数不大于m0

k0+1

，然后相加，即可根据定义即可得到结论．

解答：（本小题共13分）
解：（Ⅰ）由已知知f(1，2)=[

3 2

]+[

3 3

]+[

3 4

]+[

3 5

]+[

3 6

]=1+1+0+0+0=2．
所以f（1，2）=2．                                                    …（4分）
（Ⅱ）因为数列{a_n}是将集合A={m

k+1

|m∈N*，k∈P}中的元素按从小到大的顺序排立而成，
所以我们可设计如下表格

km	1	2	3	4	5	‥‥	m0
1	2	2 2	3 2	4 2	‥‥		‥‥
2	3	2 3	3 3	4 3	‥‥
3	4	2 4	3 4	‥‥	‥‥
4	5	2 5	3 5	‥‥	‥‥
5	6	2 6	3 6	‥‥	‥‥

从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．
且

2

＜

3

＜

4

＜

5

＜

6

＜2

2

＜2

3

＜2

4

＜3

2

＜2

5

＜‥‥
所以 a9=3

2

．                                                    …（8分）
（Ⅲ）任取m₁，m₂∈N*，k₁，k₂∈P，
若m1

k1+1

=m2

k2+1

，则必有m₁=m₂，k₁=k₂．
即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．
对于m0

k0+1

而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有m₁的数不大于m0

k0+1

，
则m₁

2

≤m0

k0+1

，即m₁≤

m0 k0+1

2

，所以m₁=[

m0 k0+1

2

]，
同理，第二行共有m₂的数不大于m0

k0+1

，有m₂=[

m0 k0+1

3

]，
第i行共有m_i的数不大于m0

k0+1

，有m_i=[

m0 k0+1

i+1

]．
所以，在数列{a_n}中，不大于m0

k0+1

的项共有

5

i=1

[m0

k0+1 i+1

]项，即f（m₀，k₀）项．
…（13分）

点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键是读懂新的定义，同时考查了计算能力，属于中档题．