Question

设数列{a_n}的前n项和Sn=

4

3

an-

1

3

×2n+1+

2

3

．
（1）求通项a_n．
（2）设Tn=

2n

Sn

，证明：T1+T2+…+Tn＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根据数列递推式，令n=1，求得a₁，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，可得数列是等比数列，从而可求通项a_n；
（2）由通项，利用数列递推式，求得S_n，进而可得T_n，利用裂项法，可得结论．

解答：（1）解：n=1，a1=

4

3

a1-

4

3

+

2

3

，∴a1=2
n≥2，an=Sn-Sn-1=

4

3

an-

1

3

×2n+1-

4

3

an-1+

1

3

×2n
∴an=4an-1+2n，

an

2n

=2•

an-1

2n-1

+1，∴

an 2n +1=2( an-1 2n-1 +1)

∵a₁=2，∴

a1

2

+1=2
∵

an

2n

+1=2•2n-1=2n，
∴an=(2n)2-2n．
（2）证明：Sn=

4

3

•22n-

4

3

•2n-

2

3

•2n+

2

3

=

2

3

[2•22n-3•2n+1]=

2

3

(2n+1-1)(2n-1)
∴

2n

Sn

=

3

2

2n

(2n+1-1)(2n-1)

=

3

2

[

1

2n-1

-

1

2n+1-1

]
∴Tn=

3

2

[(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

3

2

(1-

1

2n+1-1

)＜

3

2

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，确定数列的通项是关键，属于中档题．