Question

若△ABC的三个内角满足：2B=A+C，且A＜B＜C，tanAtanC=2+

3

，求A，B，C的大小．

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：解三角形

分析：由A，B及C成等差数列，利用等差数列的性质得到A+C=2B，再利用三角形的内角和定理求出B的度数，进而得到A+C的度数，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A+C），根据A+C的度数，利用特殊角的三角函数值求出tan（A+C）的值，把已知的tanAtanC的值代入，求出tanA+tanC的值，根据韦达定理得到关于tanA和tanC的方程，求出方程的解得到tanA和tanC的值，利用特殊角的三角函数值求出A和C的度数．

解答： 解：由A+B+C=180°及A+C=2B，
得B=60°，A+C=120°，
∴tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-

3

，又tanAtanC=2+

3

，
∴tanA+tanC=3+

3

，
∴tanA，tanC为二次方程x²-（3+

3

）x+2+

3

=0的根，
∴tanA=1，tanA=2+

3

或tanC=2+

3

，tanC=1，
∵A＜B＜C，
∴A=45°，C=75°．B=60°．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正切函数公式，等差数列的性质，韦达定理，正弦定理以及特殊角的三角函数值，注意不要错解．