Question

F₁，F₂分别是椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的左右焦点，直线l与C相交于A，B两点
（1）直线l斜率为1且过点F₁，若|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，，求a值
（2）若直线l方程为y=2x+2，且OA⊥OB，求a值．

Answer 1

分析：（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，知|AB|=

4

3

a

y=x+c x2 a2 +y2=1

，所以（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，再由韦达定理能够得到a值．
（2）联立直线l与椭圆方程：

y=2x+2 x2 a2 +y2=1

，（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，再由韦达定理能够得到a值．

解答：解：（1）设椭圆半焦距为c，则l方程为y=x+c；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列，
∴|AB|=

4

3

a

y=x+c x2 a2 +y2=1

?（1+a²）x²+2a²cx+a²（a²-2）=0，
x1+x2=-

2a2c

1+a2

，x1x2=

a2(a2-2)

1+a2

由|AB|=

1+k2

|x1-x2|得

4a

3

=

2

4a4(a2-1) (1+a2)2 - 4a2(a2-2) 1+a2

解得a=

2

…（6分）
（2）联立直线l与椭圆方程：

y=2x+2 x2 a2 +y2=1

?（1+4a²）x²+8a²x+3a²=0，
x1+x2=-

8a2

1+4a2

，x1x2=

3a2

1+4a2

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0?5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0
代入得

15a2

1+4a2

-

32a2

1+4a2

+4=0，
∴a=

1

2

…（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，解题时要注意椭圆性质的灵活运用和等差数列的合理运用，同时要注意韦达定理的合理运用．