Question

设0＜a＜1，函数f(x)＝的定义域为[m，n]，值域为[log_aa(n－1)，log_aa(m－1)]．

(1)求证：m＞3；

(2)求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由＞0得x＞3或x＜－3，∴n＞m＞3或－3＞n＞m，又由函数的值域可知n＞1，m＞1，所以n＞m＞3，故m＞3得证． 　　(2)设u＝，则u＝1，在[m，n]上为减函数，而0＜a＜1，y＝logau为减函数，所以y＝f(x)在[m，n]上为减函数，从而f(x)的值域为[f(n)，f(m)]，即[loga]． 　　依题意有∴ 　　由此可知m、n是方程＝a(x－1)的两根．此方程整理得ax2＋(2a－1)x＋3－3a＝0．① 　　由于m、n＞3，故方程①应有大于3的两不等实根，注意到a＞0，所以应有 　　得解得：0＜a＜． 　　点评：此题是从复合函数角度综合考查对数的概念、函数单调性，且巧妙地利用方程根的概念将问题转化为一元二次方程根的研究．同时提醒大家注意，求值范围的题目 　　一般要求寻求使问题成立的等价条件，因此对问题进行变换时注意等价转化．