Question

【题目】已知函数，.

（1）设函数，讨论函数在区间内的零点个数；

（2）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）令，可得则，简单判断，则，作出函数与的图象，然后讨论的范围进而得解；

（2）当时，，则，所以的值域是；

当时，设函数的值域是，依题意得，然后讨论的范围进而得解.

（1）因为，

令，

则，

当时，则，不符合条件，

当时，则

作函数与的图象，由图可知：

①当时，即时，两图象无公共点，

则在区间内无零点；

②当时或时，即或时，两图象仅有一个公共点，

则在区间内仅有一个零点；

③当时，即时，两图象有两个公共点，

则在区间内有两个零点.

（2）当时，，则，所以的值域是；

当时，设函数的值域是，依题意，，

①当时，不合题意；

②当时，，

由 ，得，解得；

③当时，，

由，得，解得；

综上得，实数的取值范围是.