Question

已知曲线的方程为，过原点作斜率为的直线和曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，过作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，如此下去，一般地，过点作斜率为的直线与曲线相交，另一个交点记为，设点（）．
（1）指出，并求与的关系式（）；
（2）求（）的通项公式，并指出点列，， ，，  向哪一点无限接近？说明理由；
（3）令，数列的前项和为，设，求所有可能的乘积的和．

Answer 1

（1）；（2），；（3）.

解析试题分析：（1）由于，点，又都是抛物线上的点，代入进去变形可得到与的关系为；（2）由于只要求数列的奇数项，因此把（1）中得到的关系式中分别为代换，得到两个等式相减可得与的关系式，用累加法可求得通项公式，当时，，即得极限点为；（3）求出，是一个等比数列，其，于是，即，要求和，可先求和，而，
，由此可得结论.
试题解析：（1）．                         （1分）
设，，由题意得 ．     （2分）
                      （4分）
（2）分别用、代换上式中的n得
 ()       （6分）
又，，              （8分）
因，所以点列，， ，， 向点无限接近.     （10分）
（3）（理），．    （11分）
，.                          （12分）
将所得的积排成如下矩阵：
，设矩阵的各项和为.
在矩阵的左下方补上相应的数可得
矩阵中第一行的各数和，
矩阵中第二行的各数和，
矩阵中第行的各数和，