Question

（2007•宝山区一模）下列函数中，在其定义域内，既是单调递增函数，又是奇函数的是（　　）

• A．f（x）=sinx+x²
• B．f（x）=

  1

  x3

  +x
• C．f(x)=lnx-

  1

  x

• D．f（x）=3^x-3^-x

Answer 1

分析：C：因为函数f(x)=lnx-

1

x

的定义域为（0，+∞）不关于原点对称，所以此函数不具有奇偶性．
A：因为函数不满足f（-x）≠-f（x），所以此函数在定义域内不是奇函数．
B：由函数的解析式可得：f′（x）=1-

3

x4

≥0在其定义域内不是恒成立，所以函数在定义域内不是单调递增函数．
D：由题意可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=3xln3+

ln3

3x

＞0恒成立，所以此函数既是单调递增函数，又是奇函数．

解答：解：根据函数奇偶性的定义可得：若函数具有奇偶性则其定义域关于原点对称，因为函数f(x)=lnx-

1

x

的定义域为（0，+∞），所以此函数不具有奇偶性，所以C答案错误．
A：因为函数的解析式为f（x）=sinx+x²，所以f（-x）≠-f（x），所以此函数在定义域内不是奇函数，所以A错误．
B：由函数f（x）=

1

x3

+x可得：f′（x）=1-

3

x4

，所以f′（x）=1-

3

x4

≥0在其定义域内不是恒成立，所以函数在定义域内不是单调递增函数，所以B错误．
D：由函数f（x）=3^x-3^-x可得f（-x）=-f（x），并且f′（x）=3xln3+

ln3

3x

＞0恒成立，所以此函数既是单调递增函数，又是奇函数，所以D正确．
故选D．

点评：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数奇偶性的定义域判定方法，以及掌握利用导数判定函数的单调性，掌握导数的运算公式与运算法则．