Question

【题目】(2017·郑州第二次质量预测)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1.现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC.

(1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC?

(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析:(1) 连接BD交MC于点N，则,因此AP＝AB ,再根据线面平行判定定理得结论(2)利用等体积法 ,再根据AM⊥平面MBCD,得,最后计算三角形面积代入可得结果

试题解析:解：(1)当AP＝AB时，有AD∥平面MPC.

理由如下：

连接BD交MC于点N，连接NP.

在梯形MBCD中，DC∥MB，＝＝，

在△ADB中，＝，∴AD∥PN.

∵AD平面MPC，PN平面MPC，

∴AD∥平面MPC.

(2)∵平面AMD⊥平面MBCD，平面AMD∩平面MBCD＝DM，AM⊥DM，∴AM⊥平面MBCD.

∴VPMBC＝×S△MBC×＝××2×1×＝.

在△MPC中，MP＝AB＝，MC＝，

又PC＝＝，

∴S△MPC＝××＝.

∴点B到平面MPC的距离为

d＝＝＝.