Question

【题目】设函数，已知在处的切线相同．

（1）求的值及切线的方程；

（2）设函数，若存在实数使得关于的不等式对上的任意实数恒成立，求的最小值及对应的的解析式．

Answer 1

【答案】（1），（2）的最小值为2，

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得，又切点相同，所以，从而可列方程组且，解得，，再根据点斜式得切线方程：（2）由题意可得为函数的一条公切线，先求公切线，易得：，解得公切线为，再证恒成立

试题解析：解：（1），

由已知且，

∴且，得，

又，∴，

∴，

∴切线的方程为， 即

（2）由（1）知，，又因为，

可知，

①由对恒成立，

即对恒成立，

所以，解得①

②由对恒成立，即设，

则，令，得，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

故，

则，故得，②

由①②得，③

由存在实数使得③成立的充要条件 是：不等式，有解，该不等式可化为有解

令，则有，设，

，

可知在上递增，在上递减，

又，所以在区间内存在一个零点，故不等式的解为即，得，

因此的最小值为2，代入③中得，故，此时对应的的解析式为