Question

【题目】已知数列、满足： .

（1）求；

（2）设，求数列的通项公式；

（3）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）由已知，整理可得递推公式，从而可算出， ， ；（2）由（1）递推公式整理可得，即，且，所以数列是以为首项， 为公差的等差数列，所以；（3）由（1）、（2）可求得，而，

所以，则，由条件可知恒成立即可满足条件，从而构造函数，通过函数的性质可得解当时， 恒成立.

试题解析：（1），

∵，∴.……………………………………6分

（2）∵，∴，

∴数列是以为首项， 为公差的等差数列.

∴.…………………………6分

（3）由于，所以，从而，则.

，

∴，

由条件可知恒成立即可满足条件，

设，

当时， 恒成立；

当时，由二次函数的性质知不可能成立；

当时，对称轴， 在为单调递减函数，

，

∴，∴时， 恒成立.

综上知： 时， 恒成立.…………………………………………12分