Question

3．已知实数a₁，b₁，c₁，a₂，b₂，c₂均不等于0，设命题P：关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0与a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集相同；命题Q：$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$．请判定命题P和Q之间存在怎样的条件关系．

Answer 1

分析 根据充要条件的定义，举出反例不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0与a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集均为∅，可推翻充分性；举出反倒$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$=k＜0，可推翻必要性．

解答 解：若关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0与a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集均为∅，
则$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$不一定成立，
若$\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{2}}$=$\frac{{c}_{1}}{{c}_{2}}$=k＜0，
则关于x的不等式a₁x²+b₁x+c₁＞0与a₂x²+b₂x+c₂＞0的解集不相同，
故命题P是命题Q的不充分不必要条件．

点评 本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，熟练掌握并正确理解充要条件的定义是解答的关键．