Question

如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，点B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BC=CA=AA₁．
（Ⅰ）求证：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（Ⅱ）求证：BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求二面角B-AB₁-C₁的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要证平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB，只需证明平面ACC₁A₁内的直线AC，垂直平面B₁C₁CB内的两条相交直线B₁M，BC即可；
法一：（Ⅱ）连接B₁C，说明B₁C是直线AB₁在平面B₁C₁CB上的射影，证明B₁C⊥BC₁即可证明BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）过点B作BH⊥AB₁交AB₁于点H，连接C₁H，说明∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角，解三角形BHC₁求二面角B-AB₁-C₁的大小．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系．（Ⅱ）求出，计算，即可证明BC₁⊥AB₁；
（Ⅲ）求出平面ABB₁的法向量为n₁，平面AB₁C₁的法向量为n₂，通过求出二面角的大小．
解答：（Ⅰ）证明：设BC的中点为M．
在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点B₁在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，
∴B₁M⊥平面ABC．（1分）∵AC?平面ABC，∴B₁M⊥AC．（2分）
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．∵B₁M∩BC=M，
∴AC⊥平面B₁C₁CB．（4分）
∵AC?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB．（5分）
解法一：（Ⅱ）连接B₁C，∵AC⊥平面B₁C₁CB，
∴B₁C是直线AB₁在平面B₁C₁CB上的射影．（5分）
∵BC=CC₁，∴四边形B₁C₁CB是菱形．
∴B₁C⊥BC₁．（7分）∴AB₁⊥BC₁；（9分）

（Ⅲ）过点B作BH⊥AB₁交AB₁于点H，连接C₁H．
∵AB₁⊥BC₁，∴AB₁⊥平面BHC₁．
∴AB₁⊥C₁H．∴∠BHC₁是二面角B-AB₁-C₁的平面角．（11分）
设BC=2，则BC=CA=AA₁=2，∵B₁M⊥BC，BM=MC，
∴B₁C=B₁B=2．∴BB₁=B₁C=BC=2．∴∠B₁BC=60°．
∴∠BCC₁=120°．∴．∵AC⊥平面BC₁，B₁C?平面BC₁，
∴AC⊥B₁C．∴．
在△BB₁A中，可求．
∵B₁B=B₁C₁，B₁H=B₁H，∴Rt△BB₁H≌Rt△C₁B₁H．
∴．
∴．（13分）
∴．
∴二面角B-AB₁-C₁的大小为．（14分）

解法二：（Ⅱ）因为点B₁在底面ABC上的射影是BC的中点，
设BC的中点为O，则B₁M⊥平面ABC．以O为原点，
过O平行于CA的直线为x轴，BC所在直线为y轴，
OB₁所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BC=CA=AA₁=1，由题意可知，
．
设C₁（x，y，z），由，得
（7分）∴．
又．
∴．
∴AB₁⊥BC₁；（9分）

（Ⅲ）设平面ABB₁的法向量为n₁=（x₁，y₁，1）．
则
∴
∴．
设平面AB₁C₁的法向量为n₂=（x₂，y₂，1）．则
∴∴．（12分）
∴．（13分）
∴二面角B-AB₁-C₁的大小为．（14分）
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查计算能力，逻辑思维能力，转化思想，是中档题．