Question

已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；
（2）求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；
（3）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

Answer 1

分析：（1）要求侧棱A₁A与底面ABC所成角的大小；必须先找出线面角，就是∠A₁AC；
（2）要求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成二面角的大小；利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．所以∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角．求解即可；
（3）求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离，可以应用等体积法求解，也可以直接作出距离解三角形即可．

解答：（1）解：如图作A₁D⊥AC，垂足为D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，
所以∠A₁AD为A₁A与面ABC所成的角．
因为AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
所以∠A₁AD=45°为所求．

（2）解：作DE⊥AB，垂足为E，连A₁E，则由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．
所以∠A₁ED是面A₁ABB₁与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2

3

，
所以DE=1，AD=A₁D=

3

，tan∠A₁ED=

A1D

DE

=

3

．
故∠A₁ED=60°为所求．

（3）解法一：由点C作平面A₁ABB₁的垂线，垂足为H，
则CH的长是C到平面A₁ABB₁的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A₁ED=60°
所以CH=BCsin60°=

3

为所求．
解法二：连接A₁B．
根据定义，点C到面A₁ABB₁的距离，即为三棱锥C-A₁AB的高h．
由V锥C-A1AB=V锥A1-ABC得

1

3

S△AA1Bh=

1

3

S△ABCA1D，
即

1

3

×2

2

h=

1

3

×2

2

×

3

所以h=

3

为所求．

点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，
空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力．